A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

3. GENERELLE OMRÅDER 91
Lad R = [a,b] × [c,d] og antag f : R → R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de
itererede integraler
b d
f(x,y)dA = f(x,y)dydx
og
R
R
a
d b
f(x,y)dA = f(x,y)dxdy
3.5. Generelle områder ☞ [S] 12.3 Double integrals over general regions
Figur
y
d
c
c
c
a
a b
D ⊂ [a,b] × [c,d]
3.6. Generelle områder ☞ [S] 12.3 Double integrals over general regions
Definition
Givet D ⊂ [a,b] × [c,d] og f : D → R en funktion.
1
Dobbeltintegralet er
2
F(x,y) =
f(x,y) hvis (x,y) ∈ D
0 hvis (x,y) ∈ [a,b] × [c,d]\D
D
f(x,y)dA =
R
x
F(x,y)dA
3.7. Volumen ☞ [S] 12.3 Double integrals over general regions
Bemærkning
Givet et område D og en positiv f : D → R.
Legemet i R 3
har volumen V givet ved dobbeltintegralet
V =
E = {(x,y,z)|(x,y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x,y)}
D
f(x,y)dA
3.8. Type I ☞ [S] 12.3 Double integrals over general regions
Figur