A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. DOBBELT INTEGRAL 77
1.15. Riemann sum til beregning ☞ [S] 12.1 Double integrals over rect. . .
Eksempel 1 - fortsat
R = [0,2] × [0,2], f(x,y) = 16 − x 2 − 2y 2 ≥ 0
Hjørner (1,1),(2,1),(1,2),(2,2) og ∆A = 1.
Den dobbelte Riemann sum giver
(16 − x
R
2 − 2y 2 )dA
≈ f(1,1) + f(1,2) + f(2,1) + f(2,2)
= 13 + 7 + 10 + 4
= 34
1.16. Test dobbelt integralet ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Test
Lad f(x,y) = xy, R = [1,2] × [1,2]. Et skøn med en dobbelt Riemann sum giver for
integralet V =
xy dA R
(a) V < 0. (b) V = 0. (c) V > 0.
Løsning
Inddel med endepunkter
∆A = (2 − 1)(2 − 1) = 1
V ≈ f(1,1)∆A = 1
Afkryds den rigtige:
(a) (b) (c)
1.17. Integralet som volumen ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Eksempel 2
R = [−1,1] × [−2,2], f(x,y) = 1 − x 2
Volumenet under grafen er en halvcylinder med radius 1 og højde 4.
Dobbelt integralet findes som volumenet.
1
1 − x2dA =
2 π12 · 4
R
= 2π
1.18. Halvcylinder ☞ [S] 12.1 Double integrals over rectangles
Figur - Eksempel 2
z
x
Grafen for f(x,y) = √ 1 − x 2
y