A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

7. LAGRANGEMETODEN 71
Ved indsættelse i f = x+2y+3z fås 3+ √ 29 og 3 − √ 29. Det første punkt er maksimum
og det andet punkt er minimum.
7.35. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2000
Opgave 7
Minimer funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1.
Løsning
f angiver kvadratet for afstanden fra 0 til planen givet ved bibetingelsen. Fra lineær algebra
ved vi at minimum antages. Kandidater til minimumspunkt findes ved Lagrange metoden.
7.36. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2000
Opgave 7 - fortsat
Lagrange metoden anvendes på funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen
g(x,y,z) = 2x + y + z = 1.
Løsning
De partielle afledede er
fx = 2x,fy = 2y,fz = 2z
gx = 2,gy = 1,gz = 1
7.37. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2000
Opgave 7 - fortsat
Lagrange ligningssystem bliver
2x = 2λ
2y = λ
2z = λ
2x + y + z = 1
Løsningen giver multiplikator λ = 1
3 og minimumspunkt/værdi
(a,b,c) = ( 1
3
, 1
6
1 1
, ), f(a,b,c) =
6 6
7.38. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2000
Opgave 7 - alternativt
Løs bibetingelsen, z = 1 − 2x − y og minimer funktionen
Løsning
De partielle afledede er
Det kritiske punkt (a,b) = ( 1
1
6 .
h(x,y) = f(x,y,1 − 2x − y) = x 2 + y 2 + (1 − 2x − y) 2
= 5x 2 + 2y 2 + 4xy − 4x − 2y + 1
hx = 10x + 4y − 4,hy = 4x + 4y − 2
3
, 1
6
) giver minimums punkt/værdi (a,b,c) = (1
3
, 1
6
1 , 6 ), f(a,b,c) =