A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

7. LAGRANGEMETODEN 65
Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y)
under begræsningen g(x,y) = k.
fx(x,y) = λgx(x,y)
fy(x,y) = λgy(x,y)
g(x,y) = k
7.10. Multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel - igen
Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(x,y) = x + 3y, når samtidig ligningen
g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt.
Lagrangeligningerne er
1 = λ2x
3 = λ2y
x 2 + y 2 = 10
7.11. Multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel - igen fortsat
Der løses 3x = y og
x 2 + (3x) 2 − 10 = 0
der giver
Lagrange multiplikator er
(x,y) = ±(1,3)
λ = ± 1
2
7.12. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Lagrange Problem
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x,y,z) =
k er opfyldt.
Ligningen g(x,y,z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen.
Hvis ligningen g(x,y) = k kan løses, z = φ(x,y), reduces problemet til ekstremum for
den sammensatte funktion i 2 variabel
f(x,y,φ(x,y))
7.13. Lagranges multiplikator ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Definition
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begræsningen g(x,y,z) = k.
I ligningen
1 ∇f(x0,y0,z0) = λ∇g(x0,y0,z0)
kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator.
Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x0,y0,z0) tangerer begræsningsfladen g(x,y,z) =
k.