A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

64 I. DIFFERENTIATION
y
1
f(x,y)=0
f(x,y) = x + 3y, g(x,y) = x 2 + y 2 = 10
7.6. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel - fortsat
Niveaukurverne x + 3y = c tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10 for værdier af c, hvor
har dobbeltrod.
Diskriminanten
er 0 for c = ±10, som giver punkter
(−3y + c) 2 + y 2 − 10 = 10y 2 − 6cy + c 2 − 10
36c 2 − 40(c 2 − 10) = −4c 2 + 400
(x,y) = ±(1,3)
7.7. Lagrange multiplikator ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Definition
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begræsningen g(x,y) = k.
I ligningen
∇f(x0,y0) = λ∇g(x0,y0)
kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator.
Ligningen udtrykker at niveaukurven for f i (x0,y0) tangerer begræsningskurven g(x,y) =
k.
7.8. Lagrange multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Metode
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begræsningen g(x,y) = k.
(a) Find x,y,λ så
∇f(x,y) = λ∇g(x,y)
g(x,y) = k
(b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er
blandt disse.
7.9. Lagrange multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Ligninger
x