A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

7. LAGRANGEMETODEN 63
7.2. Skitse ☞ [S] 11.8
Niveaukurver
y
g(x,y)=k
Lagrange situation
f(x,y)=1
7.3. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Lagrange Problem
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x,y) = k er
opfyldt.
Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen.
Hvis ligningen g(x,y) = k kan løses, y = φ(x), reduces problemet til ekstremum for den
sammensatte funktion i 1 variabel x ↦→ f(x,φ(x)).
Hvis løsningskurven til ligningen g(x,y) = k kan parametriceres med (x(t),y(t)), reduces
problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel t ↦→ f(x(t),y(t)).
7.4. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel
Bestem ekstremumspunkter for funktionen
når samtidig ligningen
f(x,y) = x + 3y
g(x,y) = x 2 + y 2 = 10
er opfyldt.
Løsning
Niveaukurverne for f er linjer x + 3y = c. Ekstremum findes når disse tangerer cirklen
x 2 + y 2 = 10.
7.5. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel - figur
0
1
2
3
2
x