A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

6. MAKSIMUM/MINIMUM 57
6.26. Lokalt maksimum/minimum ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 3 - figur
x
z
z = x 4 + y 4 − 4xy + 1
6.27. Ekstremumspunkters type ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 3 - fortsat
giver
fx = 4x 3 − 4y, fy = 4y 3 − 4x
fxx = 12x 2 , fxy = −4, fyy = 12y 2
D = fxxfyy − f 2 xy = 144x 2 y 2 − 16
1. D(0,0) = −16 < 0 ⇒ (0,0) saddelpunkt
2. D(1,1) = 128 > 0, fxx(1,1) = 12 > 0 ⇒ (1,1) lokalt minimum
3. D(−1, −1) = 128 > 0, fxx(−1, −1) = 12 > 0 ⇒ (−1, −1) lokalt minimum
6.28. Populært skema ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 3 - fortsat
Konklusions skema
(a,b) f(a,b) fxx(a,b) D(a,b) Type
(0,0) 1 0 −16 saddel
(1,1) −1 12 128 minimum
(−1, −1) −1 12 128 minimum
6.29. Ekstremumspunkters type ☞ [S] 11.7 Maximum and minimum values
Eksempel 4 f(x,y) = 10x 2 y − 5x 2 − 4y 2 − x 4 − 2y 4
har kritiske punkter, hvor
Foruden (x,y) = (0,0) fås, x = 0
20xy − 10x − 4x 3 = 0, 10x 2 − 8y − 8y 3 = 0
10y − 5 − 2x 2 = 0, 5x 2 − 4y − 4y 3 = 0 ⇔
10y − 5 − 2x 2 = 0, 8y 3 − 42y + 25 = 0 ⇔
y
... ⇔
(x,y) ≈ (0,0),(±2.64,1.90),(±0.86,0.65)