A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

5. GRADIENT 47
For den retningsafledede i retning (1,2, −1) bruges enhedsvektoren
u = 1
√ 6 (1,2, −1)
Duf = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz) · 1 √ 6 (1,2, −1)
= 1 √ 6 (sin yz + 2xz cos yz − xy cos yz)
5.27. Retningsafledt, 3 variable ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel 5 - fortsat
I retning u = 1 √ 6 (1,2, −1) er
I punktet (x,y,z) = (1,3,0) fås
Duf = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz) · 1 √ 6 (1,2, −1)
Duf(1,3,0) = (0,0,3) · 1 √ 6 (1,2, −1)
= − 3 √ 6
5.28. Maksimal retningsafledt ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
15 Sætning
Betragt en differentiabel funktion f(x) i mange variable. Den maksimale vœrdi af den
retningsafledede Duf(x) er lœngden |∇f(x)| og denne antages, når u har samme retning
som gradienten ∇f(x).
Bevis
Duf = ∇f · u = |∇f|cos θ
Da θ er vinklen mellem ∇f og u følger påstanden af egenskaberne for cos θ.
5.29. Størst variation ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel 6
Gradienten af f(x,y) = xe y er
∇f(x,y) = (e y ,xe y )
Den retningsafledede er størst i retning (1,x) med maksimal værdi
|∇f| = e y 1 + x 2
I punktet (2,0) er den retningsafledede er størst i retning (1,2) med maksimal værdi
|∇f| = √ 5
5.30. Gradient og niveaukurve ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Bemærkning
Betragt et punkt (x0,y0) på niveaukurven f(x,y) = k. En tangentvektor v til niveaukurven
i (x0,y0) er vinkelret paa gradienten
Hvis gradienten ∇f(x0,y0) = 0, så er
∇f(x0,y0) ⊥ v
∇f(x0,y0) · (x − x0,y − y0) = 0