A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Eksempel 3
Gradienten af
i punktet (x,y) er
I punktet (x,y) = (0,1) fås
5. GRADIENT 45
f(x,y) = sin x + e xy
∇f(x,y) = (cos x + ye xy ,xe xy )
∇f(0,1) = (cos 0 + 1 · e 0 ,0 · e 0 )
= (2,0)
5.19. Gradient og retningsafledt ☞ [S] 11.6 Directional derivatives . . .
Sætning
For en differentiabel funktion f(x,y) er den retningsafledede punktet (x,y) i retning af en
enhedsvektor u = (a,b) givet ved
9
Bevis
Netop formlen 7 .
Duf(x,y) = ∇f(x,y) · u
5.20. Retningsafledt og gradient ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel - gentaget
Funktionen f(x,y) = x 2 + y har gradient
∇f(x,y) = (2x,1)
Den retningsafledede i punktet (1,1) i retningen u = ( 3 4
5 , 5 ) beregnes
Duf(1,1) = ∇f(1,1) · ( 3 4
,
5 5 )
= (2,1) · ( 3 4
,
5 5 )
= 2
5.21. Gradient ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel - figur
y
(1,1)
1
u
∇f(1,1)
∇f(1,1) = (2,1), u = ( 3 4
5 , 5 )
5.22. Retningsafledt ☞ [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .
Eksempel 4
Gradienten af f(x,y) = x 2 y 3 − 4y er
∇f(x,y) = (2xy 3 ,3x 2 y 2 − 4)
x