A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. KÆDEREGLEN 39
4.26. Test implicit funktion ☞ [S] 11.5 The chain rule
Test
Lad F(x,y) = e 2x + e y − 2. Ligningen F(x,y) = 0 definerer en funktion y(x) for x nær
0. Der gælder:
(a) y ′ (0) = −1. (b) y ′ (0) = 2. (c) y ′ (0) = −2.
Løsning
Udregningen
giver
Fx = 2e 2x , Fy = e y
y ′ = −Fx/Fy
Afkryds den rigtige:
(a) (b) (c)
4.27. Udvid til flere variable ☞ [S] 11.5 The chain rule
Implicit funktion generelt
F(x,y,z) = 0, Fz(a,b,c) = 0
definerer en løsningsfunktion z(x,y) med F(x,y,z(x,y)) = 0 for (x,y) tilpas nær (a,b).
Kædereglen giver
Fxx ′ + Fyy ′ + Fzz ′ = 0
og deraf
7 zx = − Fx
, zy = − Fy
Fz
4.28. Inddirekte beregning flere variable ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 9
F = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1
Fx = 3x 2 + 6yz, Fy = 3y 2 + 6xz, Fz = 3z 2 + 6xy
zx = − Fx
Fz
zy = − Fy
Fz
Fz
= −3x2 − 6yz
3z2 + 6xy = −x2 + 2yz
z2 + 2xy
= −3y2 − 6xz
3z2 + 6xy = −y2 + 2xz
z2 + 2xy
4.29. Opgave ☞ [S] 11.5 The chain rule
Øvelse 19
x + y
u =
y + z
x = p + r + t, y = p − r + t, z = p + r − t
Beregn up.
ux = 1
y + z
−x + z
uy =
(y + z) 2
−x − y
uz =
(y + z) 2