A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

38 I. DIFFERENTIATION Løsning Funktionerne g1 = x 2 − y 2 , g2 = xy med giver Jacobimatrix Afkryds den rigtige: g1x = 2x, g1y = −2y, g2x = y, g2y = x 2x −2y = . y x g1x g1y g2x g2y (a) (b) (c) 4.23. Implicit given funktion ☞ [S] 11.5 The chain rule Implicit funktion Ligningen F(x,y) = 0, Fy(a,b) = 0 definerer en løsningsfunktion y(x) med F(x,y(x)) = 0 for x tilpas nær a. Kædereglen giver Fxx ′ + Fyy ′ = 0 og deraf 6 y ′ (x) = − Fx 4.24. Kurve er graf ☞ [S] 11.5 The chain rule Figur y 1 Fy F(x,y) = 0 4.25. Inddirekte beregning ☞ [S] 11.5 The chain rule Eksempel 8 F = x 3 + y 3 − 6xy = 0 Fx = 3x 2 − 6y, Fy = 3y 2 − 6x når Fy = 3y 2 − 6x = 0. dy dx = −Fx Fy = − 3x2 − 6y 3y2 − 6x = 2y − x2 y2 − 2x x
4. KÆDEREGLEN 39 4.26. Test implicit funktion ☞ [S] 11.5 The chain rule Test Lad F(x,y) = e 2x + e y − 2. Ligningen F(x,y) = 0 definerer en funktion y(x) for x nær 0. Der gælder: (a) y ′ (0) = −1. (b) y ′ (0) = 2. (c) y ′ (0) = −2. Løsning Udregningen giver Fx = 2e 2x , Fy = e y y ′ = −Fx/Fy Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) 4.27. Udvid til flere variable ☞ [S] 11.5 The chain rule Implicit funktion generelt F(x,y,z) = 0, Fz(a,b,c) = 0 definerer en løsningsfunktion z(x,y) med F(x,y,z(x,y)) = 0 for (x,y) tilpas nær (a,b). Kædereglen giver Fxx ′ + Fyy ′ + Fzz ′ = 0 og deraf 7 zx = − Fx , zy = − Fy Fz 4.28. Inddirekte beregning flere variable ☞ [S] 11.5 The chain rule Eksempel 9 F = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 Fx = 3x 2 + 6yz, Fy = 3y 2 + 6xz, Fz = 3z 2 + 6xy zx = − Fx Fz zy = − Fy Fz Fz = −3x2 − 6yz 3z2 + 6xy = −x2 + 2yz z2 + 2xy = −3y2 − 6xz 3z2 + 6xy = −y2 + 2xz z2 + 2xy 4.29. Opgave ☞ [S] 11.5 The chain rule Øvelse 19 x + y u = y + z x = p + r + t, y = p − r + t, z = p + r − t Beregn up. ux = 1 y + z −x + z uy = (y + z) 2 −x − y uz = (y + z) 2
Page 1: CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 +
Page 4 and 5: 4 INDHOLD 2. Januar 2003 243 3. Jan
Page 7 and 8: I Differentiation 1. Kontinuitet 1.
Page 9 and 10: 1. KONTINUITET 9 Grafen af f(x,y) =
Page 11 and 12: 1. KONTINUITET 11 1.14. Udvid til m
Page 13 and 14: (2) De kendte elementære funktione
Page 15 and 16: 1. KONTINUITET 15 Et polært koordi
Page 17 and 18: I kartesiske koordinater ved I pol
Page 19 and 20: 2. PARTIELLE AFLEDEDE 19 2.7. Skriv
Page 21 and 22: 2. PARTIELLE AFLEDEDE 21 h −2.0
Page 23 and 24: 2. PARTIELLE AFLEDEDE 23 2.22. Der
Page 25 and 26: 3. TANGENTPLAN 25 2.31. Test Laplac
Page 27 and 28: Indsættes 3. TANGENTPLAN 27 (x,y,z
Page 29 and 30: I punktet (1,2) er den lineære app
Page 31 and 32: 3. TANGENTPLAN 31 3.24. Skriv diffe
Page 33 and 34: 4. KÆDEREGLEN 33 4. Kædereglen 4.
Page 35 and 36: der har kædereglen som grænsevær
Page 37: 4. KÆDEREGLEN 37 4.18. Jacobimatri
Page 41 and 42: x 5. GRADIENT 41 z z = sin xy 5.5.
Page 43 and 44: Heraf f.eks. 5. GRADIENT 43 z Duf(x
Page 45 and 46: Eksempel 3 Gradienten af i punktet
Page 47 and 48: 5. GRADIENT 47 For den retningsafle
Page 49 and 50: 5. GRADIENT 49 Betragt funktionen f
Page 51 and 52: 6. MAKSIMUM/MINIMUM 51 6.3. Lokalt
Page 53 and 54: 6. MAKSIMUM/MINIMUM 53 6.10. 1. ord
Page 55 and 56: 6. MAKSIMUM/MINIMUM 55 6.18. 2. ord
Page 57 and 58: 6. MAKSIMUM/MINIMUM 57 6.26. Lokalt
Page 59 and 60: Relevante punkter, x,y > 0, fås fo
Page 61 and 62: x 6. MAKSIMUM/MINIMUM 61 3 (3,2) 6.
Page 63 and 64: 7. LAGRANGEMETODEN 63 7.2. Skitse
Page 65 and 66: 7. LAGRANGEMETODEN 65 Lagranges lig
Page 67 and 68: Der løses Løsningen er da Kantlæ
Page 69 and 70: Bestem ekstremumsværdier af under
Page 71: 7. LAGRANGEMETODEN 71 Ved indsætte
Page 74 and 75: 74 II. INTEGRATION Bemærkning n i=
Page 76 and 77: 76 II. INTEGRATION y d c a b x (x
Page 78 and 79: 78 II. INTEGRATION Volumen 1 2 π12
Page 80 and 81: 80 II. INTEGRATION 1.26. Midtpunkte
Page 82 and 83: 82 II. INTEGRATION Bevis g ′ g(x
Page 84 and 85: 84 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 86 and 87: 86 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 88 and 89:
88 II. INTEGRATION Eksempel 3 - for
Page 90 and 91:
90 II. INTEGRATION Løsning R xlny
Page 92 and 93:
92 II. INTEGRATION y = g2(x) y = g1
Page 94 and 95:
94 II. INTEGRATION Givet funktionen
Page 96 and 97:
96 II. INTEGRATION x = 1 2 y3 − 3
Page 98 and 99:
98 II. INTEGRATION 3.29. Kile ☞ [
Page 100 and 101:
100 II. INTEGRATION 3.37. Et slag p
Page 102 and 103:
102 II. INTEGRATION Areal af {(r,θ
Page 104 and 105:
104 II. INTEGRATION 4.16. Integral
Page 106 and 107:
106 II. INTEGRATION Det er {(r,θ,z
Page 108 and 109:
108 II. INTEGRATION Løsning y R =
Page 110 and 111:
110 II. INTEGRATION Opgave 1 - alte
Page 112 and 113:
112 III. POTENSRÆKKER kaldes ubest
Page 114 and 115:
114 III. POTENSRÆKKER Løsning Afk
Page 116 and 117:
116 III. POTENSRÆKKER og divergent
Page 118 and 119:
118 III. POTENSRÆKKER (b) ∞ a g
Page 120 and 121:
120 III. POTENSRÆKKER • monoton:
Page 122 and 123:
122 III. POTENSRÆKKER Rækken er d
Page 124 and 125:
124 III. POTENSRÆKKER Rækken har
Page 126 and 127:
126 III. POTENSRÆKKER Skrives ogs
Page 128 and 129:
128 III. POTENSRÆKKER 3.15. Geomet
Page 130 and 131:
130 III. POTENSRÆKKER 3.24. Koeffi
Page 132 and 133:
132 III. POTENSRÆKKER 3.33. Opgave
Page 134 and 135:
134 III. POTENSRÆKKER Hvis k er et
Page 136 and 137:
136 III. POTENSRÆKKER 4.14. Kubikr
Page 138 and 139:
138 III. POTENSRÆKKER Altså Tn(x)
Page 140 and 141:
140 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 142 and 143:
142 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER I et
Page 144 and 145:
144 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 146 and 147:
146 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER så e
Page 148 and 149:
148 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER 2.14.
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
152 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Opgav
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
158 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER W 100
Page 160 and 161:
160 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER y2 3.
Page 162 and 163:
162 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER er de
Page 164 and 165:
164 V. MATRICER 1.4. Rummet ☞ [LA
Page 166 and 167:
166 V. MATRICER Mængden af alle re
Page 168 and 169:
168 V. MATRICER 1.20. Øvelse ☞ [
Page 170 and 171:
170 V. MATRICER 1.28. Span af enhed
Page 172 and 173:
172 V. MATRICER 2.5. Matrix til lin
Page 174 and 175:
174 V. MATRICER Bevis (AB)(B −1 A
Page 176 and 177:
176 V. MATRICER (1) Vælg x3 = 0 og
Page 178 and 179:
178 V. MATRICER 2.30. 2 ligninger 4
Page 180 and 181:
180 V. MATRICER På matrix form ⎛
Page 182 and 183:
182 V. MATRICER ⎛ ⎝ 2 −2 −4
Page 184 and 185:
184 V. MATRICER ∼ ⎛ ⎜ ⎝ 1 0
Page 186 and 187:
186 V. MATRICER • 2-matrix a11
Page 188 and 189:
188 V. MATRICER 4.10. Rækkeregnere
Page 190 and 191:
190 V. MATRICER Hvis A er invertibe
Page 192 and 193:
192 V. MATRICER 4.28. Bestem entydi
Page 194 and 195:
194 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISE
Page 196 and 197:
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
Page 204 and 205:
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
Page 210 and 211:
Page 213 and 214:
VII Skalarprodukt og projektion 1.
Page 215 and 216:
Løsning 1. ORTOGONAL PROJEKTION 21
Page 217 and 218:
1. ORTOGONAL PROJEKTION 217 1.17. P
Page 219 and 220:
Pythagoras som du kender den 1. ORT
Page 221 and 222:
har længde, som angiver den mindst
Page 223 and 224:
VIII Appendiks 1. Polære koordinat
Page 225 and 226:
Multiplikation: 1. POLÆRE KOORDINA
Page 227 and 228:
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 229 and 230:
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 231 and 232:
Enhver polynomiumsligning 1. POLÆR
Page 233 and 234:
IX Opgaver 1. August 2002 1.1. Over
Page 235 and 236:
x 1. AUGUST 2002 235 z R = {(x,y)|0
Page 237 and 238:
1. AUGUST 2002 237 1.15. Diagonalis
Page 239 and 240:
Dermed er Det følger, at f(x) = 1.
Page 241 and 242:
Opgave 5 - figur y 1 0 1 1. AUGUST
Page 243 and 244:
Opgave 7 - retningsfelt 2. JANUAR 2
Page 245 and 246:
for En løsning er 2. JANUAR 2003 2
Page 247 and 248:
2. JANUAR 2003 247 2.14. Angiv egen
Page 249 and 250:
2. JANUAR 2003 249 1) Fra Sætning
Page 251 and 252:
2. JANUAR 2003 251 y(x) = 6 + 2 x 2
Page 253 and 254:
Løsning Den afledede er h ′ (x)
Page 255 and 256:
3. JANUAR 2004 255 Opgave 3. Lad a
Page 257 and 258:
3. JANUAR 2004 257 viser at u 1 og
Page 259 and 260:
4. AUGUST 2004 259 4. August 2004 O
Page 261 and 262:
4. AUGUST 2004 261 1) Beregn den or
Page 263:
Litteratur Arnold, Ordinary differe
Page 266 and 267:
266 STIKORD karakteristiske polynom
show all

A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?