A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

36 I. DIFFERENTIATION
Altså zs = zxxs + zyys
zt = zxxt + zyyt
4.14. Kæderegel udregning ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 3
z = e x siny, x = st 2 , y = s 2 t
zx = e x sin y, zy = e x cos y
xs = t 2 ,xt = 2st, ys = 2st,yt = s 2
zs = zxxs + zyys = e x sin(y)t 2 + 2e x cos(y)st
= e st2
sin(s 2 t)t 2 + 2e st2
cos(s 2 t)st
zt = zxxt + zyyt = 2e x sin(y)st + e x cos(y)s 2
= 2e st2
sin(s 2 t)st + e st2
cos(s 2 t)s 2
4.15. Udvid til mange variable ☞ [S] 11.5 The chain rule
4 Sætning (Kædereglen generelt)
Antag at u er en differentiabel funktion af variable x1,...,xn, som hver er differentiable
funktioner af variable t1,...,tm. Så er
Mere kompakt skrives
∂u
∂ti
= ∂u ∂x1
+ · · · +
∂x1 ∂ti
∂u ∂xn
∂xn ∂ti
∂u
=
∂ti
n
j=1
∂u ∂xj
4.16. Kæderegel kan ej undværes ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 5
u = x 4 y + y 2 z 3
Beregn us i (r,s,t) = (2,1,0).
∂xj
∂ti
x = rse t , y = rs 2 e −t , z = r 2 ssin t
us = uxxs + uyys + uzzs
= 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 )2rse −t + 3y 2 z 2 r 2 sin t
4.17. Kædereglen ☞ [S] 11.5 The chain rule
Eksempel 5 - fortsat
x = rse t , y = rs 2 e −t , z = r 2 ssin t
x(2,1,0) = 2, y(2,1,0) = 2, z(2,1,0) = 0
us = 4x 3 yre t + (x 4 + 2yz 3 )2rse −t + 3y 2 z 2 r 2 sin t
us(2,1,0) = 4 · 2 3 · 2 · 2 + (2 4 + 0)2 · 2 + 0
= 192