A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

34 I. DIFFERENTIATION
y = f(x),x = g(t)
1
Med differentialer
dy
dt
dy dx
=
dx dt
dx = g ′ (t)dt, dy = f ′ (x)dx = f ′ (x)g ′ (t)dt
4.6. Kædereglen i to variable ☞ [S] 11.5 The chain rule
Figur
t ↦→ (x,y) (x,y) ↦→ z
(x,y)
t z
t ↦→ z
Sammensat funktion
4.7. Kæderegel i to variable ☞ [S] 11.5 The chain rule
2 Sætning (Kædereglen)
Antag at z = f(x,y) er differentiabel og x(t),y(t) er differentiable funktioner. Den sammensatte
funktion z(t) er differentiabel med
Skrives også kompakt
dz
dt
∂z dx ∂z dy
= +
∂x dt ∂y dt
z ′ = zx x ′ + zy y ′
4.8. Differentialer sammensatte ☞ [S] 11.5 The chain rule
Bemærkning
Kædereglen med differentialer, z = f(x,y).
dx = dx dy
dt, dy =
dt dt dt
dz = ∂z ∂z
dx +
dz =
∂x
∂z
∂x
∂y dy
dx ∂z dy
+
dt ∂y dt
dt
4.9. Overbevis ☞ [S] 11.5 The chain rule
Bevis - kæderegel
giver
∆z = ∂z ∂z
∆x +
∂x ∂y ∆y + ɛ1∆x + ɛ2∆y
∆z
∆t
∂z ∆x ∂z ∆y
≈ +
∂x ∆t ∂y ∆t