A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

3. TANGENTPLAN 31
3.24. Skriv differentialet ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Eksempel 4
f = x 2 + 3xy − y 2
Benyttes til tilnærmelse
fx = 2x + 3y, fy = 3x − 2y
dz = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy
f(2,3) = 13,fx(2,3) = 13,fy(2,3) = 0
f(2.05,2.96) ≈ 13 + 13 · 0.05 + 0 · (−0.04) = 13.65
3.25. Opgave ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations
Øvelse 9
f(x,y) = x √ y
Begrund differentiabilitet om (1,4) og find den lineære approximation.
Løsning
er kontinuerte om (1,4).
når (x,y) ≈ (1,4).
fx = √ y, fy = x
2 √ y
x √ y ≈ 2 + 2(x − 1) + 1
(y − 4)
4
3.26. Opgave fortsat
Øvelse 9 - fortsat
☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations
Skrives også
(1 + ∆x) 4 + ∆y ≈ 2 + 2∆x + 1
4 ∆y
Beregn tilnærmelse
0.9 √ 4.4 ≈ 2 + 2(−0.1) + 1
0.4 = 1.9
4
3.27. Test differentialet ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear . . .
Test
Givet z = ln(ax + by). Differentialet er:
(a) dz = adx + bdy. (b) dz = a b
ax+bydx + ax+bydy. (c) dz = aln(ax + by)dx + bln(ax + by)dy.
Løsning
Udregningen
giver differentialet
zx = a
ax+by , zy = b
ax+by
dz = zx dx + zy dy
Afkryds den rigtige:
(a) (b) (c)
3.28. Udvid til mange variable ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Definition
Omtalen af tangentplan, lineær approximation og differentialer udvides umiddelbart til
funktioner af tre eller flere variable.