A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

28 I. DIFFERENTIATION
3.11. Test tangentplan
Test
☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear . . .
Lad f(x,y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0,0,0).
Afkryds:
Løsning
Udregningen
fx = 1 + y, fy = x
ja nej
giver
fx(0,0) = 1 = 0
3.12. Lineær approximation ☞ [S] 2.9 Linear approximations
Definition
Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion
L(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a)
kaldet lineariseringen af f i a.
Approximationen
f(x) ≈ f(a) + f ′ (a)(x − a)
kaldes den lineære approximation af f for x ≈ a.
3.13. Find approximation ☞ [S] 2.9 Linear approximations
Eksempel 2
Find den lineære approximation af f(x) = √ x i a = 1.
Løsning
Lineariseringen er
Approximationen er
f ′ (x) = 1
2 √ x , f ′ (1) = 1
2
L(x) = 1 + 1
(x − 1)
2
√ 1
x ≈ 1 + (x − 1), for x ≈ 1
2
3.14. Approximation i to variable ☞ [S] 11.4 Tangent planes and lin. . .
3 4 Definition
Tangentplanen er grafen for en lineær funktion
kaldet lineariseringen til f i (a,b).
Approximationen
L(x,y) = f(a,b) + fx(a,b)(x − a) + fy(a,b)(y − b)
f(x,y) ≈ f(a,b) + fx(a,b)(x − a) + fy(a,b)(y − b)
kaldes den lineære approximation af f for (x,y) ≈ (a,b).
3.15. Brug approximation ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Eksempel
f = x 3 + x 2 y 3 − 2y 2
fx = 3x 2 + 2xy 3 , fy = 3x 2 y 2 − 4y
f(1,2) = 1,fx(1,2) = 19,fy(1,2) = 4