A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. AUGUST 2004 261
1) Beregn den ortogonale projektion af vektoren v = (6,4,8) ind på U.
2) Angiv en egentlig vektor vinkelret på U.
Løsning. Problemstillingen er illustreret på figuren
1) Udregningen
v
v − u ∈ U ⊥
u = projU(v)
Ortogonal projektion på underrum
u 1 · u 3 = 1 · (−1) + 1 · 0 + 1 · 1 = 0
viser at u 1 og u 3 er ortogonale. Fra [LA] Sætning 17 fås projektionen af v = (6,4,8) på
u 1 = (1,1,1),u 3 = (−1,0,1)
2) Restvektoren
er egentlig og vinkelret på U.
projU(v) = proju 1 (v) + proju 3 (v)
= v · u1 u1 +
u1 · u1 v · u3 u2 u3 · u3 = 18 2
(1,1,1) +
3 2 (−1,0,1)
= (5,6,7) .
v − projU(v) = (6,4,8) − (5,6,7)
= (1, −2,1)
Opgave 6. Det oplyses, at funktionen f(x,y) = x 2 + y 2 antager et minimum under bibetingelsen
g(x,y) = 0, hvor g(x,y) = xy − 5.
1) Angiv samtlige de punkter, hvori dette minimum antages.
2) Beregn minimumsværdien.
Løsning. 1) De partielle afledede er
Lagrange ligningerne er
I dette tilfælde
fx = 2x, fy = 2y, gx = y, gy = x.
fx = λgx, fy = λgy, g = k.
2x = λy, 2y = λx, xy = 5.
x,y er ikke nul og har samme fortegn. Det følger, at λ = 2, x = y . Mulige minimumspunkter
er da
(x,y) = ±( √ 5, √ 5)
Da funktionsværdien i disse punkter er ens, er dette de to søgte punkter.
2) Minimumsværdien er f( √ 5, √ 5) = 10 .
U