A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

26 I. DIFFERENTIATION
En ligning for tangentlinjen er
y − b = f ′ (a)(x − a)
3.4. Find tangentlinjen ☞ [S] 2.7 Derivatives
Eksempel 2
Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 − 8x + 9 i punktet (3, −6).
Den afledede er
y ′ = 2x − 8, y ′ (3) = −2
Ligningen for tangentlinjen er
eller
y − (−6) = (−2)(x − 3)
y = −2x
3.5. Tangentplan ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations
Figur
y
0
D
(x,y)
x
D ⊂ R 2 , f : D → R
f(x,y)
3.6. Tangentplan ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Definition
Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(x,y) i et punkt (x0,y0,z0), z0 = f(x0,y0)
er planen gennem (x0,y0,z0), som indeholder tangentvektorerne
til koordinatkurverne
på grafen Γf .
(1,0,fx(x0,y0)), (0,1,fy(x0,y0))
x ↦→ (x,y0,f(x,y0)), y ↦→ (x0,y,f(x0,y))
3.7. Ligning for tangentplan ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
2 Sætning
Antag at f har kontinuerte partielle afledede fx,fy i en lille cirkelskive om (x0,y0). Tangentplanen
for grafen i et punkt (x0,y0,z0), z0 = f(x0,y0) har ligning
Bevis
z − z0 = fx(x0,y0)(x − x0) + fy(x0,y0)(y − y0)