A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. AUGUST 2004 259
4. August 2004
Opgave 1. Lad D betegne den del af cirkelskiven x 2 + y 2 ≤ 4, der ligger i 1. kvadrant
(tegn!).
1) Beskriv D i polære koordinater.
2) Beregn dobbeltintegralet
Løsning. 1) Området tegnes
D er i polære koordinater
D
y
2
1
x 2 + y 2 + 2 dA.
0 2
Kvartcirklen D = {(x,y)|0 ≤ x,0 ≤ y,x 2 + y 2 ≤ 4}
x
x = r cos θ, y = r sinθ
givet ved
{(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ π
2 }
2) Dobbelt integralet opstilles i polære koordinater
π/2 2
f(x,y) dA = f(r cos θ,r sin θ)r dr dθ .
og beregnes
D
D
Opgave 2. Betragt funktionen
1
x2 + y2 dA =
+ 2
0
0
π/2
0
2
0
r
r2 dr dθ
+ 2
= π
2 [1
2 ln(r2 + 2)] r=2
r=0
= π
ln 3 .
4
f(x,y) = x · ln(1 + x + y)
defineret i halvplanen x + y > −1.
1) Angiv gradientvektoren ∇f(x,y) for et vilkårligt punkt (x,y) i funktionens definitionsområde.
2) Beregn den retningsafledede af f i punktet (0,1), i retningen “Nordøst”, dvs. i retning
givet ved enhedsvektoren 1 √ 2 (1,1).
Løsning. 1) De partielle afledede er
hvorfra gradienten angives
fx = ln(1 + x + y) +
∇f(x,y) = (fx,fy) = (ln(1 + x + y) +
x
1 + x + y , fy
x
=
1 + x + y ,
x
1 + x + y ,
x
) .
1 + x + y