A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

258 IX. OPGAVER
Opgave 7. Betragt differentialligningen
y ′ = −2xy + x .
1) Angiv den fuldstændige løsning.
2) Angiv den løsning y(x), der opfylder y(0) = 1
2 .
Løsning. 1) Graferne for den fuldstædige løsning kan skitseres ud fra retningsdiagrammet
af små linjestykker igennem (x,y) med hældning y ′ (x)
Med notationen ([DL] 1.5, 1.6)
er stamfunktionerne
y
1
0 1
Retningsdiagram og to skitserede grafer
a(x) = −2x, b(x) = x
A(x) = a(x)dx = −2x dx = −x 2 ,
B(x) = e −A(x)
b(x)dx = e x2
x dx
= 1
2 ex2
.
Dette giver den fuldstændige løsning ([DL] 1.5, 1.6 samt rettelser fra Us. 5)
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
= Ce −x2
= Ce −x2
+ 1
2 ex2e
−x2
+ 1
2 ,
hvor C er en arbitrær konstant.
2) I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 1
2 .
y(0) = Ce 0 + 1 1
=
2 2
Det ses, at den søgte partikulære løsning er konstant
y(x) = 1
2 .
⇒ C = 0 .
x