A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

254 IX. OPGAVER
2) Fra 1) fås
T
y 2 dA =
2 2
(Man kunne også have brugt et Type II integral.)
y 2 dy dx
1 x
2
= [
1
1
3y3 ] y=2
y=x dx
2
1 = 3
1
(23 − x 3 )dx
= 1 1
3 [8x − 4x4 ] 2 1
= 16 16 8 1
3 − 12 − 3 + 12
= 17
12 .
Opgave 2. Betragt funktionen f(x,y) = x 2 + y 2 .
1) Angiv gradientvektoren ∇f(P), hvor P er punktet (3,4).
2) Angiv størrelsen af den maximale retningsafledede af f i punktet (3,4).
Løsning. 1) De partielle afledede er
hvorfra gradienten beregnes
fx =
x
x 2 + y 2 , fy =
y
x 2 + y 2 ,
∇f(3,4) = (fx(3,4),fy(3,4)) = ( 3 4
, ) .
5 5
y
1
0 1
(3,4)
∇f
f(x,y) = 5
2) Den største retningsafledede er ([S] 11.6 Theorem 15) længden af gradientvektoren
|∇f(3,4)| = |( 3
5
4
, )| =
5
9 16
+ = 1 .
25 25
x