A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. JANUAR 2003 249
1) Fra Sætning 17 fås projektionen af v = (0,1,0,5) på u 1 = (1,0,0,0),u 2 = (0,1,1,0),u 3 =
(0,1, −1,1)
projU(v) = proju 1 (v) + proju 2 (v) + proju 3 (v)
= v · u1 u1 +
u1 · u1 v · u2 u2 +
u2 · u2 v · u3 u3 u3 · u3 = 0 1
(1,0,0,0) +
1 2
= (0, 5
2 , −3
2 ,2)
6
(0,1,1,0) + (0,1, −1,1)
3
2.22. Beregn projektion ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 4 - løsning
Restvektoren
v − projU(v) = (0,1,0,5) − (0, 5
2 , −3
2 ,2)
= (0, −3 3
2 , 2 ,3)
har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U
||v − u|| = ||(0, −3 2
27
=
2
= 3√
6
2
, 3
2 ,3)||
2.23. Beregn projektion ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 4 - figur
v
v − u ∈ U ⊥
u = projU(v)
Ortogonal projektion på underrum
2.24. Løs differentialligning ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 5
Angiv den fuldstændige løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0)
y ′ + y
x = 2x−1 .
Angiv endvidere den løsning, der opfylder betingelsen y(2) = 5.
2.25. Løs differentialligning ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 5 - løsning
y ′ + y
= 2x−1
x
a(x) = −x −1 ,b(x) = 2x −1
U