A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

24 I. DIFFERENTIATION
xx
fx(1,0) = lim
x→1
−3 − 1
x − 1
2.27. Sidste opgave ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Øvelse 77 - fortsat
xx
fx(1,0) = lim
x→1
−3 − 1
x − 1
fx(1,0) = lim
x→1
fx(1,0) = lim
x→1
1 − x 2
x 2 (x − 1)
−1 − x
= −2
x2 2.28. Partielle differentialligninger ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Definition
En partiel differentialligning er et udtryk i de partielle afledede.
Ligningen
∂2u ∂x2 + ∂2u = 0
∂y2 kaldes Laplaces ligning.
Ligningen
kaldes bølgeligningen.
∂2u ∂t2 = a2 ∂2u ∂x2 2.29. Laplaces ligning ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Eksempel 8
Funktionen u(x,y) = e x siny er løsning til Laplaces ligning
Løsning
giver
uxx + uyy = 0
ux = e x sin y, uxx = e x sin y
uy = e x cos y, uyy = −e x siny
uxx + uyy = 0
2.30. Bølgeligningen ☞ [S] 11.3 Partial derivatives
Eksempel 9
Funktionen u(t,x) = sin(x − at) er løsning til bølgeligningen
Løsning
giver
utt = a 2 uxx
ut = −acos(x − at), utt = −a 2 sin(x − at)
ux = cos(x − at), uxx = −sin(x − at)
utt = a 2 uxx