A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

236 IX. OPGAVER
1.11. Diagonaliser en matrix
Opgave 2 - løsning
1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2:
☞ Matematik Alfa 1, August 2002
⎡
−3 −3
⎤
−3
⎡
1 1
⎤
1
A − 2I = ⎣ 3 3 3 ⎦ ∼ ⎣0
0 0⎦
−3 −3 −3 0 0 0
giver det reducerede ligningssystem
og dermed
x3
x1 + x2 + x3 = 0
x3
x1 = −x2 − x3
1.12. Diagonaliser en matrix ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 2 - løsning
1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x1 −x2 − x3 −1 −1
⎣x2⎦
= ⎣ x2 ⎦ = x2 ⎣ 1 ⎦ + x3 ⎣ 0 ⎦
0 1
hvor x2,x3 vælges frit.
Egenrummet udtrykkes
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−1 −1
E2 = span( ⎣ 1 ⎦ , ⎣ 0 ⎦)
0 1
1.13. Diagonaliser en matrix
Opgave 2 - løsning
Egenvektorer hørende til egenværdien −1:
☞ Matematik Alfa 1, August 2002
⎡
0
A + I = ⎣ 3
−3
6
⎤ ⎡
−3 1
3 ⎦ ∼ ⎣0 0
1
⎤
−1
1 ⎦
−3 −3 0 0 0 0
hvor x3 vælges frit.
⎡
⎣
x1
x2
x3
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x3 1
⎦ = ⎣−x3⎦
= x3 ⎣−1⎦
1
x3
1.14. Diagonaliser en matrix ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 2 - løsning
2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at
B −1 AB = Λ
Søjler af egenvektorer giver
⎡
−1 −1
⎤
1
⎡
2 0
⎤
0
B = ⎣ 1 0 −1⎦
, Λ = ⎣0
2 0 ⎦
0 1 1 0 0 −1
det(B) = 1 sikrer invertibilitet.