A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Enhver polynomiumsligning
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 231
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 = 0
af grad mindst én har en rod i de komplekse tal.
Algebraens fundamentalsætning blev vist af Gauss.
1.30. Kompleks eksponentialfunktion ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Definition
Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi,
7 e z = e x+yi = e x (cos y + isin y)
Et specialtilfælde kaldes Eulers formel
6 e iy = cos y + isin y
Eksponentialfunktionen opfylder den sædvanlige regneregel
5 e z1+z2 = e z1 e z2
1.31. Kompleks eksponentialfunktion ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Figur - eksponentialfunktion
Im
0
e x+yi
1.32. Kompleks eksponentialfunktion ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Eksempel 8
Beregn: (a) e iπ (b) e −1+iπ/2
Løsning
(a)
(b)
e x
e iπ = cos π + isin π = −1
e −1+iπ/2
−1
= e cos π
2
y
π
+ isin =
2
i
e
Re