A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Multiplikation:
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE TAL 225
(−1 + 3i)(2 − 5i) = (−1)(2 − 5i) + (3i)(2 − 5i)
= −2 + 5i + 6i − 15i 2
= (−2 + 15) + (5 + 6)i
= 13 + 11i
1.8. Kompleks konjugering ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Definition
For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal ¯z givet ved spejling i den reelle akse
så
Re z =
¯z = a − bi
z + z z − z
, Imz =
2 2i
1.9. Kompleks konjugering ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Sætning
Der gælder
z + w = ¯z + ¯w
Hvis z = a + bi, så er
Bevis
zw = ¯z ¯w
z¯z = a 2 + b 2 = |z| 2
z¯z = (a + bi)(a − bi) = a 2 − (bi) 2 = a 2 + b 2 = |z| 2
1.10. Kompleks absolutværdi ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Sætning
Der gælder
Trekantsuligheden
|z + w| ≤ |z| + |w|
Multiplikativitet
|zw| = |z||w|
1.11. Kompleks reciprok ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Sætning
For et kompleks tal w = c + di = 0 er det reciproke tal
1 ¯w ¯w
= =
w w ¯w |w| 2
1
c + di =
c
For et kompleks tal z = a + bi er brøken
z z ¯w z ¯w
= =
w w ¯w |w| 2
c2 d
−
+ d2 c2 i
+ d2 a + bi (a + bi)(c − di)
=
c + di c2 + d2