A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

216 VII. SKALARPRODUKT OG PROJEKTION
Ses let da
v − u = (0,0,v3,...,vn) ∈ U ⊥
1.13. Projektion på en vektor ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel
For et underrum U = span(a) ⊂ Rn udspændt af netop én vektor a = 0 er den ortogonale
projektion af en vektor v på U givet ved
v · a
u =
a · a a
Det skrives
proja(v) =
v · a
a · a a
1.14. Projektion på vektor ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel - figur
v
u = λa
w = v − u ∈ U ⊥
U = span(a)
Ortogonal projektion u = proja(v) på span(a)
λ = v·a
a·a
1.15. Projektion på en vektor ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel - argument
For et underrum U = span(a) er er den ortogonale projektion v på U givet ved
v · a
u = proja(v) =
a · a a
Eftervis
altså
(v −
(v −
v · a
a) ⊥ a
a · a
v · a v · a
a) · a = v · a − a · a = 0
a · a a · a
1.16. Projektion på en vektor ☞ [LA] 12 Ortogonal projektion
Eksempel
For et underrum U = span(a) ⊂ R3 udspændt af vektoren a = (1,1,1) er den ortogonale
projektion af en vektor v = (v1,v2,v3) på U givet ved
v · a
proja(v) =
a · a a
= v1 + v2 + v3
3
(1,1,1)