A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

opfylder matrixidentiteten
og giver potensen
B −1 =
2. DIAGONALISERING 207
−8 6
, Λ =
3 −2
A = BΛB −1
A k = BΛ k B −1
2 0
0 3
2.23. Nyt eksempel, potens ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 2 - fortsat
11
5 −6
1
= 3
2
12 −6
5 3 2 0
4 0 35
−8
3
1931 −1266
=
2532 −1656
6
−2
2.24. Advarsel! ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 3 (Pas på)
Betragt matricen
Matricen A kan ikke diagonaliseres.
λ = 3 er eneste egenværdi.
Egenrummet er nulrum for matricen
A =
A − 3I3 =
3 1
0 3
0 1
0 0
2.25. Advarsel! ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 3 - fortsat
Egenrummet er
E3 = span(e1)
En matrix B, hvis søjler er egenvektorer
B =
har determinant 0 og dermed ikke invertibel.
Altså kan A ikke diagonaliseres.
b1 b2
0 0
2.26. Opgave
Opgave 2
☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Det oplyses, at matricen A givet ved
⎡
−1 −3
⎤
−3
A = ⎣ 3 5 3 ⎦
−3 −3 −1
har egenværdier λ1 = −1 og λ2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier.
1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 2.
2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at
B −1 AB = Λ