A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

206 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISERING
2.18. Nyt eksempel, egenværdier ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 1 - fortsat
Fra det karakteristiske polynomium
11
− λ −6
12 −6 − λ
= (11 − λ)(−6 − λ) − (−6) · 12 = λ2 − 5λ + 6
fås, at matricen
har de to rødder
som egenværdier.
A =
11
−6
12 −6
λ1 = 2, λ2 = 3
2.19. Nyt eksempel, egenrum ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 1 - fortsat
For λ1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med
matrix
11 − λ1
12
−6 9
=
−6 − λ1 12
−6
∼
−8
Heraf fås egenvektorerne
2
x1
= 3
x2
x2
2
= x2
3
x2 1
hvor x2 vælges frit.
2 1 −3 0 0
2.20. Nyt eksempel, egenrum ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 1 - fortsat
For λ2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med
matrix
11 − λ2
12
−6 8
=
−6 − λ2 12
−6
∼
−9
Heraf fås egenvektorerne
3
x1
= 4
x2
x2
3
= x2
4
x2 1
hvor x2 vælges frit.
3 1 −4 0 0
2.21. Nyt eksempel, diagonalisering ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 1 - fortsat
Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer)
11 −6 1 3
A = , B = , Λ =
12 −6
som opfylder matrixidentiteten
3
2 4
AB = BΛ
2 0
0 3
Da determinanten |B| = −1 2 er B invertibel og diagonaliserer A.
2.22. Nyt eksempel, potens ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 2 - fortsat
11
A =
12
−6 1
, B =
−6
3
3
2 4