A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. DETERMINANTER 189
1)
−1
3
2
4
=
−1
0
2
10
= (−1) · 10 = −10
2)
1
4
2
2
5
3
3
6
0
=
1
0
0
2
−3
−1
3
−6
−6
=
1
0
0
2
−3
0
3
−6
−4
= 1 · (−3) · (−4) = 12
4.15. Determinant af matrixprodukt ☞ [LA] 8 Determinanter
Sætning 11 (Produktreglen)
For to kvadratiske n × n-matricer A,B gœlder
|AB| = |A||B|
Bevis
For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne.
Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten
identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf.
4.16. Brug produktreglen
Eksempel
☞ [LA] 8 Determinanter
15
|AA| =
36
14
21
51
19
1
2 3
|A| =
4
5 6
= 12
2
3 0
15
42
= |AA| = |A| · |A| = 12 · 12 = 144
24
4.17. Determinant af potens ☞ [LA] 8 Determinanter
Eksempel
Potensers determinant
−1
2
3 4
= (−1) · 4 − 2 · 3 = −10
k
−1 2
= −1
2
3 4 3 4
k
= (−10) k
4.18. Determinant af invers matrix ☞ [LA] 8 Determinanter
Sætning 12 (Inversreglen)
En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis |A| = 0. Der gœlder
hvis |A| = 0.
Bevis
|A −1 | = 1
|A|