A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

176 V. MATRICER (1) Vælg x3 = 0 og løs x2 = 16. Indsæt i første ligning (2) Dette giver partikulær løsning 2x1 − 2 · 16 = −28 (x1,x2,x3) = (2,16,0) 2.22. 2 ligninger 3 ubkendte Eksempel 1 - fortsat ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Den fuldstændige løsning er ⎛ ⎞ x1 ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x2 + 2x3 − 14 2 ⎝ −2x3 + 16 ⎠ = ⎝−2x3 + 16⎠ x2 x3 hvor x3 kan vælges frit. = x3 x3 ⎛ ⎞ 2 ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 0 ⎝16⎠ + ⎝−2x3⎠ = ⎝16⎠ + x3 ⎝−2⎠ 0 0 1 x3 2.23. 1 ligning 3 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1’ x1 + x2 + x3 = 1 (1) Vælg x3 = x2 = 0 og løs x1 = 1 (2) Det giver partikulær løsning x3 (x1,x2,x3) = (1,0,0) 2.24. 1 ligning 3 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel 1’ - fortsat Den fuldstændige løsning er ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 −x2 − x3 + 1 1 −x2 −x3 ⎝x2⎠ = ⎝ x2 ⎠ = ⎝0⎠ + ⎝ x2 ⎠ + ⎝ 0 ⎠ 0 0 x3 hvor både x2 og x3 kan vælges frit. ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ −1 ⎛ ⎞ −1 = ⎝0⎠ + x2 ⎝ 1 ⎠ + x3 ⎝ 0 ⎠ 0 0 1 2.25. Løsningsrummet ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 7 Løsningsmœngden <strong>til</strong> et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte er et lineœrt underrum kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Bevis Ax = 0 NA ⊂ R n x3
Simple regneregler for matrix multiplikation giver 2. LINEÆRE AFBILDNINGER 177 Ax = 0, Ay = 0 ⇒ A(x + y) = 0 2.26. 2 ligninger 4 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel (1) x3 = −x4 og x1 = −x2. (2) x4 og x2 kan vælges frit. x4 x1 + x2 = 0 x3 + x4 = 0 2.27. 2 ligninger 4 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Eksempel - fortsat ⎛ ⎞ x1 ⎜x2⎟ ⎜ ⎟ ⎝x3⎠ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −x2 −1 0 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝−x4⎠ = x2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ + x4 ⎜ 0 ⎟ ⎝−1⎠ 0 1 Løsningsrummet er span af vektorerne ⎛ ⎞ −1 ⎜ 1 ⎟ ⎝ 0 ⎠ 0 , ⎛ ⎞ 0 ⎜ 0 ⎟ ⎝−1⎠ 1 x4 2.28. Løsninger og nulrum ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Sætning 8 Givet en partikulœr løsning u <strong>til</strong> det lineœre ligningssystem med n ubekendte så er løsningsmœngden Ax = b {x ∈ R n |Ax = b} = u + NA Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 ⇒ A(u + x) = b 2.29. Test Løsningsmængde ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A · x = b (b = 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve A · 0 = 0 = b Afkryds det sande: (a) (b) (c)
Page 1:
CALCULUS "SLIDES" TIL CALCULUS 1 +
Page 4 and 5:
4 INDHOLD 2. Januar 2003 243 3. Jan
Page 7 and 8:
I Differentiation 1. Kontinuitet 1.
Page 9 and 10:
1. KONTINUITET 9 Grafen af f(x,y) =
Page 11 and 12:
1. KONTINUITET 11 1.14. Udvid til m
Page 13 and 14:
(2) De kendte elementære funktione
Page 15 and 16:
1. KONTINUITET 15 Et polært koordi
Page 17 and 18:
I kartesiske koordinater ved I pol
Page 19 and 20:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 19 2.7. Skriv
Page 21 and 22:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 21 h −2.0
Page 23 and 24:
2. PARTIELLE AFLEDEDE 23 2.22. Der
Page 25 and 26:
3. TANGENTPLAN 25 2.31. Test Laplac
Page 27 and 28:
Indsættes 3. TANGENTPLAN 27 (x,y,z
Page 29 and 30:
I punktet (1,2) er den lineære app
Page 31 and 32:
3. TANGENTPLAN 31 3.24. Skriv diffe
Page 33 and 34:
4. KÆDEREGLEN 33 4. Kædereglen 4.
Page 35 and 36:
der har kædereglen som grænsevær
Page 37 and 38:
4. KÆDEREGLEN 37 4.18. Jacobimatri
Page 39 and 40:
4. KÆDEREGLEN 39 4.26. Test implic
Page 41 and 42:
x 5. GRADIENT 41 z z = sin xy 5.5.
Page 43 and 44:
Heraf f.eks. 5. GRADIENT 43 z Duf(x
Page 45 and 46:
Eksempel 3 Gradienten af i punktet
Page 47 and 48:
5. GRADIENT 47 For den retningsafle
Page 49 and 50:
5. GRADIENT 49 Betragt funktionen f
Page 51 and 52:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 51 6.3. Lokalt
Page 53 and 54:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 53 6.10. 1. ord
Page 55 and 56:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 55 6.18. 2. ord
Page 57 and 58:
6. MAKSIMUM/MINIMUM 57 6.26. Lokalt
Page 59 and 60:
Relevante punkter, x,y > 0, fås fo
Page 61 and 62:
x 6. MAKSIMUM/MINIMUM 61 3 (3,2) 6.
Page 63 and 64:
7. LAGRANGEMETODEN 63 7.2. Skitse
Page 65 and 66:
7. LAGRANGEMETODEN 65 Lagranges lig
Page 67 and 68:
Der løses Løsningen er da Kantlæ
Page 69 and 70:
Bestem ekstremumsværdier af under
Page 71:
7. LAGRANGEMETODEN 71 Ved indsætte
Page 74 and 75:
74 II. INTEGRATION Bemærkning n i=
Page 76 and 77:
76 II. INTEGRATION y d c a b x (x
Page 78 and 79:
78 II. INTEGRATION Volumen 1 2 π12
Page 80 and 81:
80 II. INTEGRATION 1.26. Midtpunkte
Page 82 and 83:
82 II. INTEGRATION Bevis g ′ g(x
Page 84 and 85:
84 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 86 and 87:
86 II. INTEGRATION Itereret integra
Page 88 and 89:
88 II. INTEGRATION Eksempel 3 - for
Page 90 and 91:
90 II. INTEGRATION Løsning R xlny
Page 92 and 93:
92 II. INTEGRATION y = g2(x) y = g1
Page 94 and 95:
94 II. INTEGRATION Givet funktionen
Page 96 and 97:
96 II. INTEGRATION x = 1 2 y3 − 3
Page 98 and 99:
98 II. INTEGRATION 3.29. Kile ☞ [
Page 100 and 101:
100 II. INTEGRATION 3.37. Et slag p
Page 102 and 103:
102 II. INTEGRATION Areal af {(r,θ
Page 104 and 105:
104 II. INTEGRATION 4.16. Integral
Page 106 and 107:
106 II. INTEGRATION Det er {(r,θ,z
Page 108 and 109:
108 II. INTEGRATION Løsning y R =
Page 110 and 111:
110 II. INTEGRATION Opgave 1 - alte
Page 112 and 113:
112 III. POTENSRÆKKER kaldes ubest
Page 114 and 115:
114 III. POTENSRÆKKER Løsning Afk
Page 116 and 117:
116 III. POTENSRÆKKER og divergent
Page 118 and 119:
118 III. POTENSRÆKKER (b) ∞ a g
Page 120 and 121:
120 III. POTENSRÆKKER • monoton:
Page 122 and 123:
122 III. POTENSRÆKKER Rækken er d
Page 124 and 125:
124 III. POTENSRÆKKER Rækken har
Page 126 and 127: 126 III. POTENSRÆKKER Skrives ogs
Page 128 and 129: 128 III. POTENSRÆKKER 3.15. Geomet
Page 130 and 131: 130 III. POTENSRÆKKER 3.24. Koeffi
Page 132 and 133: 132 III. POTENSRÆKKER 3.33. Opgave
Page 134 and 135: 134 III. POTENSRÆKKER Hvis k er et
Page 136 and 137: 136 III. POTENSRÆKKER 4.14. Kubikr
Page 138 and 139: 138 III. POTENSRÆKKER Altså Tn(x)
Page 140 and 141: 140 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 142 and 143: 142 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER I et
Page 144 and 145: 144 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Løsn
Page 146 and 147: 146 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER så e
Page 148 and 149: 148 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER 2.14.
Page 152 and 153: 152 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER Opgav
Page 158 and 159: 158 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER W 100
Page 160 and 161: 160 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER y2 3.
Page 162 and 163: 162 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER er de
Page 164 and 165: 164 V. MATRICER 1.4. Rummet ☞ [LA
Page 166 and 167: 166 V. MATRICER Mængden af alle re
Page 168 and 169: 168 V. MATRICER 1.20. Øvelse ☞ [
Page 170 and 171: 170 V. MATRICER 1.28. Span af enhed
Page 172 and 173: 172 V. MATRICER 2.5. Matrix til lin
Page 174 and 175: 174 V. MATRICER Bevis (AB)(B −1 A
Page 178 and 179: 178 V. MATRICER 2.30. 2 ligninger 4
Page 180 and 181: 180 V. MATRICER På matrix form ⎛
Page 182 and 183: 182 V. MATRICER ⎛ ⎝ 2 −2 −4
Page 184 and 185: 184 V. MATRICER ∼ ⎛ ⎜ ⎝ 1 0
Page 186 and 187: 186 V. MATRICER • 2-matrix a11
Page 188 and 189: 188 V. MATRICER 4.10. Rækkeregnere
Page 190 and 191: 190 V. MATRICER Hvis A er invertibe
Page 192 and 193: 192 V. MATRICER 4.28. Bestem entydi
Page 194 and 195: 194 VI. EGENVEKTORER OG DIAGONALISE
Page 213 and 214: VII Skalarprodukt og projektion 1.
Page 215 and 216: Løsning 1. ORTOGONAL PROJEKTION 21
Page 217 and 218: 1. ORTOGONAL PROJEKTION 217 1.17. P
Page 219 and 220: Pythagoras som du kender den 1. ORT
Page 221 and 222: har længde, som angiver den mindst
Page 223 and 224: VIII Appendiks 1. Polære koordinat
Page 225 and 226: Multiplikation: 1. POLÆRE KOORDINA
Page 227 and 228:
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 229 and 230:
1. POLÆRE KOORDINATER OG KOMPLEKSE
Page 231 and 232:
Enhver polynomiumsligning 1. POLÆR
Page 233 and 234:
IX Opgaver 1. August 2002 1.1. Over
Page 235 and 236:
x 1. AUGUST 2002 235 z R = {(x,y)|0
Page 237 and 238:
1. AUGUST 2002 237 1.15. Diagonalis
Page 239 and 240:
Dermed er Det følger, at f(x) = 1.
Page 241 and 242:
Opgave 5 - figur y 1 0 1 1. AUGUST
Page 243 and 244:
Opgave 7 - retningsfelt 2. JANUAR 2
Page 245 and 246:
for En løsning er 2. JANUAR 2003 2
Page 247 and 248:
2. JANUAR 2003 247 2.14. Angiv egen
Page 249 and 250:
2. JANUAR 2003 249 1) Fra Sætning
Page 251 and 252:
2. JANUAR 2003 251 y(x) = 6 + 2 x 2
Page 253 and 254:
Løsning Den afledede er h ′ (x)
Page 255 and 256:
3. JANUAR 2004 255 Opgave 3. Lad a
Page 257 and 258:
3. JANUAR 2004 257 viser at u 1 og
Page 259 and 260:
4. AUGUST 2004 259 4. August 2004 O
Page 261 and 262:
4. AUGUST 2004 261 1) Beregn den or
Page 263:
Litteratur Arnold, Ordinary differe
Page 266 and 267:
266 STIKORD karakteristiske polynom
show all

A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?