A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

176 V. MATRICER
(1) Vælg x3 = 0 og løs x2 = 16. Indsæt i første ligning
(2) Dette giver partikulær løsning
2x1 − 2 · 16 = −28
(x1,x2,x3) = (2,16,0)
2.22. 2 ligninger 3 ubkendte
Eksempel 1 - fortsat
☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Den fuldstændige løsning er
⎛ ⎞
x1
⎝ ⎠ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x2 + 2x3 − 14 2
⎝ −2x3 + 16 ⎠ = ⎝−2x3
+ 16⎠
x2
x3
hvor x3 kan vælges frit.
=
x3
x3
⎛ ⎞
2
⎛
0
⎞ ⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
0
⎝16⎠
+ ⎝−2x3⎠
= ⎝16⎠
+ x3 ⎝−2⎠
0
0 1
x3
2.23. 1 ligning 3 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Eksempel 1’
x1 + x2 + x3 = 1
(1) Vælg x3 = x2 = 0 og løs x1 = 1
(2) Det giver partikulær løsning
x3
(x1,x2,x3) = (1,0,0)
2.24. 1 ligning 3 ubkendte ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Eksempel 1’ - fortsat
Den fuldstændige løsning er
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x1 −x2 − x3 + 1 1 −x2 −x3
⎝x2⎠
= ⎝ x2 ⎠ = ⎝0⎠
+ ⎝ x2 ⎠ + ⎝ 0 ⎠
0 0
x3
hvor både x2 og x3 kan vælges frit.
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
−1
⎛ ⎞
−1
= ⎝0⎠
+ x2 ⎝ 1 ⎠ + x3 ⎝ 0 ⎠
0 0 1
2.25. Løsningsrummet ☞ [LA] 5 Lineære ligningssystemer
Sætning 7
Løsningsmœngden til et homogent lineœrt ligningssystem med n ubekendte
er et lineœrt underrum
kaldet løsningsrummet eller nulrummet.
Bevis
Ax = 0
NA ⊂ R n
x3