A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

174 V. MATRICER
Bevis
(AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1
= AInA −1
= AA −1
= In
2.13. Test invers matrix ☞ [LA] 4 Inverse matricer
Test
Lad A,B være invertible n × n-matricer. Så gælder (AB) −1 = A −1 B −1 .
Løsning
Den rigtige formel er
(AB) −1 = B −1 A −1
Afkryds:
ja nej
2.14. Matrix potens ☞ [LA] 2 Matricer
Definition
For en kvadratisk n × n-matrix A defineres potens, k = 0,1,2,...,
Hvis A er invertibel, så er
For enhedsmatricen er
A 0 = In, A k = A k−1 A
A −k = (A −1 ) k = (A k ) −1
In k = In
2.15. Pas på matrix potens ☞ [LA] 2 Matricer
Bemærkning
Potensregneregler gælder
A l A m = A l+m
Men normalt er
For eksempel
(A l ) m = A lm
A m B m = (AB) m
A 2 B 2 = (AA)(BB) = (AB)(AB) = (AB) 2
2.16. Potens af diagonalmatrix
Eksempel
☞ [LA] 2 Matricer
For en diagonal n × n-matrix
⎛ ⎞
og k = 0,1,2,... er potensen
Λ =
Λ k =
λ1 0 ...
.
0 ..
⎟
0 ⎟
⎠
. 0 λn
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
λ k 1 0 ...
0
. .. 0
. 0 λ k n
⎞
⎟
⎠