A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

172 V. MATRICER
2.5. Matrix til lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 4
Funktionen f : R n → R m
defineret ved en m × n-matrix A er lineœr
Bevis
f(u) = Au
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(αu) = αf(u)
A(u + v) = Au + Av, A(αu) = αAu
Fra de simple regneregler for matrix multiplikation.
2.6. Lineær afbildning til matrix ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 5
Enhver lineœr afbildning f : R n → R m fremkommer fra en entydig bestemt m×n-matrix
Bemærk
A = Matr(f)
f(u) = Au
f(ej) = a •j
“j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n .”
2.7. Opgave ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Opgave
Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x,y) = (y,x + y).
Løsning
Søjlerne i Matr(f) er
1 0
0
f(e1) = f( ) = , f(e2) = f( ) =
0 1
1
Heraf 0 1
Matr(f) =
1 1
Prøve
0
1 x
1 1 y
=
y
x + y
1
1
2.8. Multiplicere = sammensætte ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Sætning 6
Lad f,g vœre lineœre afbildninger
R n f
−−−−→ R m
Så er den sammensatte afbildning g ◦ f lineœr og
g
−−−−→ R p
Matr(g ◦ f) = Matr(g)Matr(f)
Bevis
For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov
g ◦ f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u