A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. LINEÆRE AFBILDNINGER 171
2. Lineære afbildninger
2.1. Oversigt ☞ [LA] 3, 4, 5
Nøgleord og begreber
✌ Fra matrix til afbildning
✌ Fra afbildning til matrix
✌ Test matrix-afbildning
✌ Inverse matricer
✌ Test invers matrix
✌ Matrix potens
✌ Lineære ligningssystemer
✌ Løsningsmængdens struktur
✌ Test løsningsmængde
2.2. Lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Definition
f : R n → R m
er en lineær afbildning, hvis linearkombinationer bevares
f(λ1u1 + · · · + λkuk) = λ1f(u1) + · · · + λkf(uk)
Bemærk
Det er nok, at sum og skalarmultiplikation bevares
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(αu) = αf(u)
2.3. Lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Eksempel
Afbildningen f : R 2 → R 2 givet ved
er lineær.
Bevis
f(x,y) = (y,x + y)
f((x1,y1) + (x2,y2)) = f(x1 + x2,y1 + y2)
Tilsvarende for skalarmultiplikation.
= (y1 + y2,x1 + x2 + y1 + y2)
= (y1,x1 + y1) + (y2,x2 + y2)
= f(x1,y1) + f(x2,y2)
2.4. Matrix til lineær afbildning ☞ [LA] 3 Lineære funktioner
Definition
For en m × n-matrix A defineres en afbildning
ved
R n → R m
u ↦→ Au
Eksempel
u1 1 2 u1 u1 + 2u2
↦→
=
u2 3 4 u2 3u1 + 4u2