A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

3. GENERELLE METODER 155
3.3. Eksistens og entydighed ☞ [LA] 17 Generel ligning
Sætning 32
(x,y) eksisterer og er kontinuert i I ×J. For et givet
Antag at F(x,y) er kontinuert og ∂F
∂y
(x0,y0) ∈ I ×J findes entydigt bestemt et maximalt delinterval I ′ ⊆ I og en differentiabel
funktion y(x) : I ′ → J, som er en løsning til differentialligningen
og opfylder
dy
= F(x,y)
dx
y(x0) = y0
3.4. Eksistens og entydighed ☞ [LA] 17 Generel ligning
Bemærkning 1
Den udvidede ligning
dy
dx = F(x,y),y(x0) = y0
kaldes et begyndelsesværdiproblem.
Eksistens- og entydighedssætningen for begyndelsesværdiproblemer har en naturlig og
vigtig udvidelse til differentialligningssystemer.
3.5. Eksistenseksempel ☞ [LA] 17 Generel ligning
Eksempel 1
Differentialligningen
dy
dx = x3 y + e xy
har løsningskurver igennem ethvert (x0,y0) ∈ R × R.
Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner.
3.6. Elementære funktioner ☞ [LA] 17 Generel ligning
Eksempel 2
Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet
er eksponentialfunktionen
dy
= y, y(0) = 1
dx
y(x) = e x
3.7. Elementære funktioner ☞ [LA] 17 Generel ligning
Eksempel 2 - fortsat
Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet
er de trigonometriske funktioner
dy1
dx
dy2
dx
= −y2
= y1
y1(0) = 1, y2(0) = 0
y1(x) = cos x
y2(x) = sinx