A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

154 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
2.40. Ingen egenværdier ☞ [LA] 15 Lineært system
Eksempel 2 - Løsning
Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer
y(x) = C1e x
cos x
+ C2e
sin x
x
−sin x
cos x
Skrevet ud
y1(x) = C1e x cos x − C2e x sin x
y2(x) = C1e x sin x + C2e x cos x
2.41. 1 egenværdi ☞ [LA] 15 Lineært system
Eksempel 3
Betragt det lineære system
y ′ 1 = 3y1 + y2
y ′ 2 = 3y2
Koefficientmatricen
3
A =
0
1
3
har egenværdi 3 og egenrum E3 = span(e1).
2.42. 1 egenværdi ☞ [LA] 15 Lineært system
Eksempel 3 - Løsning
Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer
y(x) = C1e 3x
1
+ C2e
0
3x
x
1
Skrevet ud
Gør prøve!
y1(x) = C1e 3x + C2e 3x x
y2(x) = C2e 3x
3. Generelle metoder
3.1. Oversigt ☞ [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18
Nøgleord og begreber
✌ Eksistens og entydighed
✌ Retningsfelt
✌ Eulers metode
✌ Hastighedsfelt
✌ Stabilitet
3.2. Ligning og løsning ☞ [LA] 17 Generel ligning
Definition 1
Lad I,J være åbne intervaller og F(x,y) : I × J → R en reel funktion. En løsning til
differentialligningen
dy
= F(x,y)
dx
er en differentiabel funktion y(x) : I ′ → J på et åbent delinterval I ′ ⊆ I, som indsat giver
y ′ (x) = F(x,y(x)), x ∈ I ′