A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

152 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
Opgave 1 - fortsat
y(x) = Ce 3x
1
2
som opfylder (y1(0),y2(0)) = C(1,2) = (1,2) fås for C = 1.
Den ønskede løsning skrevet ud
y1(x) = e 3x
y2(x) = 2e 3x
2.32. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2
Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet
Løsning
Koefficientmatricen er
y ′ 1 = y1 + 2y2 − 8
y ′ 2 = 2y1 + y2 − 7
A =
1 2
2 1
2.33. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium
|A − λI2| = 1
− λ 2
2 1 − λ
Egenværdier
= λ 2 − 2λ − 3
λ1 = −1, λ2 = 3
2.34. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
Egenvektorer hørende til egenværdien −1:
giver egenvektorer
A + I =
x1
x2
2 2
2 2
−x2
=
x2
∼
= x2
1 1
0 0
−1
1
2.35. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 2 - fortsat
Egenvektorer hørende til egenværdien 3:
giver egenvektorer
A − 3I =
x1
x2
−2 2
2 −2
=
x2
x2
∼
= x2
1 −1
0 0
1
1