A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. 1. ORDENS LIGNINGER 151
2.27. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 30
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis matricen U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1,λ2, Auj =
λjuj, så er den fuldstændige løsning givet ved
hvor C1,C2 er arbitrœre.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2
2.28. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 31
Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen U med søjler
u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1,λ2, Auj = λjuj, så er den fuldstændige
løsning givet ved
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 + v
hvor C1,C2 er arbitrœre.
2.29. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 1
Betragt differentialligningssystemet
y ′ 1 = y1 + y2
y ′ 2 = 8y1 − y2
Det oplyses, at vektoren u = (1,2) er en egenvektor for matricen
1 1
A =
8 −1
Angiv den løsning y(x) = (y1(x),y2(x)) der opfylder y(0) = u, altså (y1(0),y2(0)) =
(1,2).
2.30. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system
Opgave 1 - fortsat
Egenværdien λ = 3 fås af udregningen
I følge [LA] Sætning 27 er
løsninger for alle valg af C.
Au =
1
1 1
8 −1 2
y(x) = Ce 3x
=
1
2
3
= 3u
6
2.31. Opgave ☞ [LA] 15 Lineært system