A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

150 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
2.23. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Eksempel 1 - fortsat
Fra Særning 1.3 fås den fuldstændige løsning
y1(x) = C1e λ1x , y2(x) = C2e λ2x
på vektorform giver dette
y1(x) C1e
y(x) = =
y2(x)
λ1x
C2eλ2x
eller udtrykt ved egenvektorerne
= C1
e λ1x
y(x) = C1e λ1x e1 + C2e λ2x e2
0
+ C2
0
eλ2x
2.24. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 27
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er
løsninger, hvor C er arbitrær.
y(x) = Ce λx u
2.25. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 28
Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere u er en
egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er
løsninger, hvor C er arbitrær.
y(x) = Ce λx u + v
2.26. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Sætning 29
Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre
differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis
y0 = C1u1 + C2u2
er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1,λ2, Auj = λjuj, så
er
en løsning, der opfylder y(0) = y0.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2