A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

148 IV. DIFFERENTIALLIGNINGER
2.14. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 1 - fortsat
fuldstændig løsning
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
= Ce −2x + ( 1
2 x2 + 3
2 e2x )e −2x
= Ce −2x + 1
2 x2e −2x + 3
2
2.15. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 1 - fortsat
I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2.
I alt er løsningen
y(0) = Ce 0 + 3
= 2
2
C = 2 − 3 1
=
2 2
y(x) = 1
2 e−2x + 1
2 x2e −2x + 3
2
= 1
2 (1 + x2 )e −2x + 3
2
2.16. Rovdyr-byttedyr ☞ [S] 7.6 Predator-prey systems
Lotka-Volterra ligningerne
dR
= kR − aRW
dt 1
dW
= −rW + bRW
dt
er et system af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af
rovdyr W(t) (ulve) og byttedyr R(t) (harer) med tiden t.
Det er ikke muligt at løse disse analytisk (ved udtryk i elementære funktioner af t).
2.17. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Definition 1
Ved et lineœrt differentialligningssystem (2 ligninger) med konstante koefficienter forstås
En løsning er differentiable funktioner
som indsat opfylder lignningerne.
dy1
dx = a11y1 + a12y2 + b1
dy2
dx = a21y1 + a22y2 + b2
x ↦→ y1(x),x ↦→ y2(x)
2.18. Lineært system ☞ [LA] 15 Lineært system
Definition 1 - matrixform
For 2 × 2-matricen A = (aij), koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (bi), y(x) =
(yi(x)) skrives differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx