A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. 1. ORDENS LIGNINGER 145
2. 1. ordens ligninger
2.1. Oversigt ☞ [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15
Nøgleord og begreber
✌ Separable ligninger
✌ 1. ordens lineær ligning
✌ August 2002, opgave 7
✌ Rovdyr-Byttedyr system
✌ 1. ordens lineært system
✌ Opgave
2.2. Separabel ligning ☞ [S] 7.3 Separable equations
Definition
En 1. ordens differentialligning
1
kaldes separabel.
Løsning
Integration
2
Fastlægger løsninger optil en konstant.
dy
= g(x)f(y)
dx
dy
f(y) =
g(x)dx
2.3. 1. ordens lineær ligning ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Definition 1
Den lineœre 1. ordens differentialligning er
dy
= a(x)y + b(x)
dx
En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder
y ′ (x) = a(x)y(x) + b(x)
Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen dy
dx = a(x)y kaldes
homogen og er den homogene part af den inhomogene, b = 0, ligning ovenfor.
2.4. Superposition ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 22
Hvis z1(x),z2(x) er løsninger til den homogene lineœre differentialligning
så er enhver linearkombination
også en løsning.
dy
= a(x)y
dx
z(x) = C1z1(x) + C2z2(x)
2.5. Superposition ☞ [LA] 14 Lineær differentialligning
Sætning 22 - fortsat
Hvis z0(x) er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning
dy
= a(x)y + b(x)
dx