A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

anvend på F = f
4. TAYLORPOLYNOMIER 137
x
f(x) = f(a) + f ′ (s) ds
anvend på F = f ′ inden under integraltegnet:
x
= f(a) + (f ′ s
(a) + f ′′ (t) dt) ds
a
4.19. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
x
= f(a) + (f ′ s
(a) + f ′′ (t) dt) ds
a
= f(a) + (x − a)f ′ x s
(a) + f ′′ (t) dt ds.
4.20. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
f(x) = f(a) + (x − a)f ′ x s
(a) + f ′′ (t) dt ds.
De to første led er Taylor-polynomiet T1(x) for f, og det sidste led er derfor en formel for
restleddet R1(x).
4.21. Taylors restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet
af f ′′ (t) over trekanten D i (s,t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret
linie) og linien s = t
Trekanten D har areal 1
2! (x − a)2 . Da |f ′′ (t)| ≤ M for alle punkter i D, er
D
≤ 1
2! (x − a)2 · M = M
(x − a)2
2!
4.22. Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen ☞ [S] 8.7 Taylor ...
Eksempel 2
Tn(x) = 1 + x x2 xn
+ + ... +
1! 2! n!
er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder
For hvilke x gælder
For alle x ! THI:
Tn(x) → e x for n → ∞?
Rn(x) → 0 for n → ∞?
4.23. Eksponentialrækken ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
tag et d ≥ x. I intervallet [−d,d] er
så restledsvurderingen giver
a
a
a
a
a
a
f (n+1) (x) = e x ≤ e d
|Rn(x)| ≤
for |x| ≤ d. Men |x|n+1
(n+1)! → 0 for n → ∞.
Altså Rn(x) → 0 for n → ∞
a
e d
(n + 1)! |x|n+1