A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

136 III. POTENSRÆKKER
4.14. Kubikrod ☞ [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials
Eksempel 1 - fortsat
T2(x) = f(8) + f ′ (8)
1!
= 2 + 1/12
1!
(x − 8) + f ′′ (8)
(x − 8)
2!
2
−1/144
(x − 8) + (x − 8)
2!
2
= 2 + 1 1
(x − 8) − (x − 8)2
12 288
4.15. Restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet Tn(x)? Specielt: hvor god er
den lineære approximation T1(x) ?
Hvor stor er “fejlen” (restleddet) Rn(x) := f(x) − Tn(x) ?
Hvis
∞
f(x) =
så er
Rn(x) =
k=0
∞
k=n+1
- men det siger ikke noget om hvor stor den er
f (k) (a)
(x − a)
k!
k
f (k) (a)
(x − a)
k!
k
4.16. Taylor’s restled ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
9 Sætning
Hvis |f (n+1) (x)| ≤ M for alle x med |x − a| ≤ d, så
for alle med |x − a| ≤ d.
|Rn(x)| ≤
M
|(x − a)|n+1
(n + 1)!
Sammenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Taylor-rækken, som jo er
f (n+1) (a)
(x − a)n+1
(n + 1)!
4.17. Hvor god er den lineære approximation ? ☞ [S] 8.7 Taylor and Mac...
|f(x) − T1(x)| ≤ M
|x − a|2
2!
hvor |f ′′ (x)| ≤ M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da
f(0) = 0 og f ′ (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved
T1(x) = 0 + 1 · x = x
Da f ′′ (x) = −sin(x) er numerisk ≤ 1 for alle x, har vi for alle x fejlvurderingen
|R1(x)| ≤ 1
2! x2
4.18. Taylors restled som itereret integral ☞ [S] 8.7 Taylor and Mac...
Hovedsætning i Calculus:
x
F(x) = F(a) + F ′ (s) ds;
a