A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. TAYLORPOLYNOMIER 135
4.9. Binomialrækken ☞ [S] 8.8 The binomial series
Maclaurin række for
1
= (1 + x)−2
(1 + x) 2
Binomialrække med k = −2. (Konvergensradius 1)
−2 −2
= 1, = −2,
0 1
−2
=
2
(−2)(−3)
= 3
2!
−2
=
3
(−2)(−3)(−4)
= −4
3!
4.10. Binomialrækken ☞ [S] 8.8 The binomial series
altså begynder rækken:
F.eks. (med x = 0.1)
1 − 2x + 3x 2 − 4x 3 + ...
(1.1) −2 = 1 − 0.2 + 0.03 − 0.004 + ...
4.11. Taylor-polynomier (centrum a) ☞ [S] 8.8 The binomial series
f(a) + f ′ (a)
(x − a) +
1!
f ′′ (a)
(x − a)
2!
2
T1(x)
T2(x)
+ f ′′′ (a)
3!
(x − a) 3
+...
T3(x)
T1(x) er den lineære approximation til f i a;
T2(x) kaldes det approximerende 2.grads polynomium, eller Taylor-polynomiet af grad 2
for f i a.
4.12. Taylor-polynomier ☞ [S] 8.8 The binomial series
T1(x) = f(a) + f ′ (a)
(x − a)
1!
T2(x) = f(a) + f ′ (a)
1!
T3(x) = f(a) + f ′ (a)
1!
(x − a) + f ′′ (a)
2!
(x − a) + f ′′ (a)
(x − a)
2!
2
(x − a) 2 + f ′′′ (a)
(x − a)
3!
3
4.13. Kubikrod ☞ [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials
Eksempel 1
Approximer f(x) = 3√ x = x 1
3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium.
f(x) = x 1
3 ;f(8) = 8 1
3 = 2
f ′ (x) = 1 2
x− 3 ;f
3 ′ (8) = 1
12
f ′′ (x) = − 2 5
x− 3 ;f
9 ′′ (8) = − 1
144