A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

134 III. POTENSRÆKKER
Hvis k er et positivt helt tal, så
k
= 1 og
0
k
= 1
k
4.5. Binomialformler ☞ [S] 8.8 The binomial series
Hvis k er positivt helt tal, så
(a + b) k =a k + ka k−1
k
b + a
2
k−2 b 2
k
+ a
3
k−3 b 3 + ...
k
... + a
k − 2
2 b k−2 + kab k−1 + b k
Specielt (sæt a = 1 og b = x)
(1 + x) k = 1 + k x +
k
x
2
2 +
k
x
3
3 + ... + x k
4.6. Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k ☞ [S] 8.8 The binomial series
For vilkårlig k
f(x) = (1 + x) k
f ′ (x) = k(1 + x) k−1
f ′′ (x) = k(k − 1)(1 + x) k−2
f ′′′ (x) = k(k − 1)(k − 2)(1 + x) k−3
f(0) = 1
f ′ (0) = k
f ′′ (0) = k(k − 1)
f ′′′ (0) = k(k − 1)(k − 2)
4.7. Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k ☞ [S] 8.8 The binomial series
Koefficienter i Maclaurin rækken:
f (n) (x) = k(k − 1)(k − 2)...(k − n + 1)(1 + x) k−n
cn = f(n) (0)
n!
f (n) (0) = k(k − 1)(k − 2)...(k − n + 1)
= k(k − 1)(k − 2)...(k − n + 1)
n!
Maclaurinrække for (1 + x) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8.
=
k
n
4.8. Binomialrækken ☞ [S] 8.8 The binomial series
Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud:
k
1 + kx + x
2
2
k
+ x
3
3 + ...
Ex. 1: Maclaurin række for
1
= (1 + x)−2
(1 + x) 2
– ikke at forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.)
1
1 + x 2 = 1 − x2 + x 4 − x 6 + ...