A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

3. POTENSRÆKKER 129
f ′′ (x) = 2 · c2 + 3 · 2 · c3x + 4 · 3 · c4x 2 + ...
f ′′′ (x) = 3 · 2 · 1 · c3 + 4 · 3 · 2 · c4x + ...
f (4) (x) = 4 · 3 · 2 · 1 · c4 + 5 · 4 · 3 · 2 · c5x + ...
3.20. Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning - fortsat
Indsættes x = 0, fås
f(0) = c0, f ′ (0) = c1,
generelt
eller
f ′′ (0) = 2 · c2, f ′′′ (0) = 3 · 2 · c3,
f (4) (0) = 4 · 3 · 2 · c4,...
f (n) (0) = n · (n − 1) · ... · 2 · 1 · cn
f (n) (0) = n! · cn
3.21. Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning - fortsat
f (n) (0) = n! · cn
eller
cn = f(n) (0)
n!
3.22. MacLaurin ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Observation
f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + ...
kan skrives
eller
f(x) = f(0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)
2! x2 + f ′′′ (0)
3! x3 + ...
f(x) =
∞
n=0
f (n) (0)
x
n!
n
3.23. Taylor-udvikling, centrum a ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Observation
kan skrives
eller
f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a) 2 + c3(x − a) 3 + ...
f(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)
2!
f(x) =
∞
n=0
(x − a) 2 + f ′′′ (a)
(x − a)
3!
3 + ...
f (n) (a)
(x − a)
n!
n
(“Taylor-rækken for f med centrum i a”, eller “Taylor-udviklingen af f ud fra a”)