A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

128 III. POTENSRÆKKER
3.15. Geometrisk række ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 5
Differentier den geometriske række
∞
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ... =
1
(1 − x) 2 = 1 + 2x + 3x2 + ... =
n=0
x n
∞
(n + 1)x n
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for −1 < x < 1, divergent for
|x| > 1. I konvergensintervallet fremstiller rækken 1/(1 − x) 2 .
3.16. Geometrisk række ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 6
Integrerer den geometriske række
∞
n=0
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + ... =
−ln(1 − x) = x + x2
2
+ x3
3
+ x4
4
n=0
... =
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for −1 < x < 1, divergent for
|x| > 1.
3.17. En logaritmerække ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 6 - fortsat
−ln(1 − x) = x + x2
2
+ x3
3
−ln(1 − (1 − z)) = (1 − z) +
+ x4
4
(1 − z)2
2
eller
(z − 1)2
lnz = (z − 1) − +
2
(z − 1)3
(substituer 1 − z for x; gælder for 0 < z ≤ 2).
x n
∞
n=1
x n
n
...for − 1 < x < 1
+ (1 − z)3
3
3
− ...
+ ...
3.18. Arctan rækken ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 7
For |x| < 1 er | − x 2 | < 1, så for sådanne x fås ved substitution i den geometriske række
Integreres ledvis fås
1
1 + x 2 = 1 − x2 + x 4 − x 6 + ...
Arctan(x) = x − x3
3
+ x5
5
− ...
3.19. Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning
f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + ...
f ′ (x) = c1 + 2c2x + 3c3x 2 + 4c4x 3 + ...