A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Logaritmerækken
3. POTENSRÆKKER 127
(x − 1)2
lnx = (x − 1) − +
2
(x − 1)3
− ...
3
har centrum i a = 1, konvergensradius R er = 1: rækken er konvergent for 0 < x < 2,
divergent for x < 0 og for x > 2.
Logaritmerækken er konvergent i højre endepunkt,
ln 2 = 1 − 1 1 1
+ − + ....
2 3 4
3.11. Ledvis differentiation ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
Hvis en potensrœkke har konvergensradius R > 0, så er sumfunktionen
∞
f(x) = cn(x − a) n
n=0
differentiabel i konvergensintervallet, og har afledet f ′ givet ved ledvis differentiation.
Bemærk
Den ledvis differentierede række har samme konvergensradius som den oprindelige række.
3.12. Ledvis integration ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
Hvis en potensrœkke har konvergensradius R > 0, så kan en stamfunktion til sumfunktionen
∞
f(x) = cn(x − a) n
n=0
angives ved ledvis stamfunktion-dannelse.
Bemærk
Den ledvis integrerede række har samme konvergensradius som den oprindelige række.
3.13. Bestemt integration
Bemærkning
☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Også bestemt integration kan udføres ledvis i konvergensintervallet,
b b b b
f(x) dx = c0 dx + c1x dx + c2x 2 dx + ...
a
(forudsat at a og b tilhører konvergensintervallet).
a
a
3.14. Ledvis diff. og int., igen ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
∞
f(x) = cn(x − a) n
(i) f ′ (x) =
(ii)
n=0
a
∞
ncn(x − a) n−1
n=1
f(x)dx = C +
∞
n=0
cn
1
(x − a)n+1
n + 1