A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

126 III. POTENSRÆKKER
Skrives også
2
∞
cn(x − a) n
n=0
Bemærk c0(x − a) 0 = c0, da (x − a) 0 = 1.
3.6. Logaritmerækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
Logaritmerækken
(x − 1)2
lnx = (x − 1) − +
2
(x − 1)3
er en potensrække med centrum i a = 1.
Koefficienterne er c0 = 0,c1 = 1,c2 = − 1
2 ,c3 = 1
3 ,...
3
− ...
3.7. Eksponentialrækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
Eksponentialrækken
e x = 1 + x x2 x3
+ + + ...
1!
er en potensrække med centrum i a = 0. Koefficienterne er c0 = 1,c1 = 1/1!,c2 =
1/2!,c3 = 1/3!,...
3.8. Konvergens ☞ [S] 8.5 Power series
3 Sætning
For en potensrœkke med centrum i a
∞
cn(x − a) n
er der netop 3 muligheder
n=0
2!
(i) Konvergerer kun for x = a
(ii) Konvergerer for alle x
(iii) Der findes et tal R > 0 så rœkken er konvergent for |x − a| < R og divergent
for |x − a| > R
3.9. Konvergens ☞ [S] 8.5 Power series
Definition
For en potensrække er konvergensradius
(i) R = 0
(ii) R = +∞
(iii) R > 0
Konvergensradius skiller konvergens og divergens.
(a − R,a + R)
er konvergensintervallet.
Sommetider er det ene, eller begge, endepunkter med i konvergensintervallet.
3.10. Konvergens af logaritmerækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
3!