A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Kilen med radius a og højde b er i "cylinderkoordinater":
4. KOORDINATSKIFT 107
D = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ π}
E = {(r,θ,z)|(r,θ) ∈ D,0 ≤ z ≤ b
r sin θ}
a
Vis, at volumenet V er
V = 2
3 a2b 4.28. Kile i polære koordinater ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Kile - figur
z
x
a
b
−a
D = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ π}
E = {(r,θ,z)|(r,θ) ∈ D,0 ≤ z ≤ b
r sin θ}
a
4.29. Volumen af kile ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Kile - fortsat
D = {(r,θ)|0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ π}
er et polært rektangel.
Volumenet af kilen er
D
b
y dA =
a
π a
b
r sin(θ)rdr dθ
a
0
4.30. Volumen af kile ☞ [S] [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Kile - fortsat
π a
b
b
y dA = r sin(θ)rdr dθ
D a 0 0 a
π
b
=
0 3a r3 r=a sinθ dθ
r=0
π
a
=
0
2b sinθ dθ
3
= a2b [−cos θ]π 0 3
= 2
3 a2b 4.31. Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 1
Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0,y ≥ 0. (Tegn.) Udregn
R x2 y dA.
0
y